机器学习中不得不知的数学基础

如果我们放弃了人工智能框架的支持，那么理解数学细节并编写逐行逻辑将变得至关重要，以揭示机器学习数据中复杂的隐藏模式。具体而言，我们需要学习概率、统计、线性代数、微积分和图形。本文将深入探讨数学知识的需求，并准确地了解数学在机器学习中的应用。

机器学习的数学基础

掌握数学知识可以助您充分发挥机器学习的潜力，并在各领域构建出色应用。数学在机器学习中扮演着至关重要的角色，例如：

• 基于算法背后的数学原理，可以为给定数据集选择最优算法。
• 通过了解正则化的数学机制，可以有效防止过拟合或高方差问题。
• 借助图论知识，能够深入分析数据特征间的复杂关联。
• 运用优化理论，可以设计合适的成本函数，提高模型性能。

数学为我们成为机器学习专家提供了强有力的理论支撑。那么，究竟需要掌握多少数学知识呢？让我们一探究竟，并结合实例来学习如何应用这些数学概念。

机器学习需要什么水平的数学

这个问题的答案因人而异。如果是从事机器学习研究的人，通常需要具备扎实的数学基础，因为深入研究需要深厚的数学知识。然而，对于只是希望开发人工智能应用程序的人来说，可能并不需要太多的数学知识。

在本文中，我们将详细讨论对于想要开始机器学习之旅或希望提高在机器学习领域实力的人所需的最低数学深度水平。

机器学习需要哪些数学

在机器学习中，这五个数学主题非常常用：

1. 线性代数
2. 可能性
3. 统计数据
4. 微积分
5. 图表

我们将了解我们需要了解的有关这些主题的内容以及它们将在机器学习中使用的地方。

线性代数

线性代数是机器学习中最常用的数学工具，无论传统机器学习还是最新深度学习模型，都离不开线性代数的理论支撑。线性代数知识在各种机器学习算法中有着广泛应用，例如线性回归、支持向量机、K近邻、随机森林等。

• 向量表示：在机器学习中，每个数据样本可以用特征向量来表示。如果一个样本有n个特征，那么它对应的就是n维向量。鉴于数据处理无处不在，我们需要时常处理这些n维向量，因此掌握向量的性质(如点积、向量加减等)至关重要。
• 距离计算：机器学习任务中常需计算不同特征向量之间的距离，以衡量它们的相似性。因此，能够计算两个n维向量间距离的知识尤为关键。这直接应用于K-means聚类和K近邻算法等。

• 投影到超平面：在支持向量机(SVM)中，我们需要找到样本向量到分离超平面的距离。这就需要将样本向量投影到超平面上，因此掌握向量投影和超平面的概念至关重要。
• 矩阵运算：当特征维数很高且需要学习大量参数时，矩阵运算就显得尤为重要。以深度学习为例，模型可能有数十亿个参数，通过矩阵的形式存储为权重和偏置，大大简化了计算。如果没有矩阵概念，训练模型和存储学习内容将是一件极其艰巨的任务。

• 矩阵运算：矩阵的基本运算如乘法、加法、减法和转置在机器学习中无处不在。我们通常将输入数据表示为矩阵形式，经过与权重矩阵相乘、加上偏置矩阵等运算，得到最终的预测输出。因此，这些数学计算的知识对于观察输入特征到最终预测输出的转换至关重要。

Y_pred = (权重).T * X_输入 + 偏差

• 正交性：将整个数据集看作一个矩阵，行对应样本，列对应特征。检查一个特征是否与其他特征线性无关的方法是检测该矩阵的正交性。如果所有列向量两两正交，那么这个矩阵就是正交的。这一概念在主成分分析(PCA)和支持向量机(SVM)等算法中有重要应用。
• 特征值与特征向量：对于高维数据集，我们需要降维技术将其可视化，如PCA算法。它利用了矩阵特征值和特征向量的概念，找到最重要的那些特征，舍弃那些冗余无用的特征。要彻底理解这些方法，我们必须掌握矩阵特征值分解的知识。
• 奇异值分解(SVD)：随着数据规模的不断扩大，矩阵也变得越来越大。SVD为我们提供了一种直接从矩阵中提取核心信息的方法，将其分解为三个矩阵的乘积形式。SVD在诸如图像压缩、t-SNE等需处理高维数据的任务中有着广泛应用。掌握这些矩阵分解方法对于理解输入到输出的转换过程至关重要。

概率和概率分布函数

概率是描述随机事件发生可能性的数学工具，在计算机科学和机器学习等诸多领域有着广泛应用。理解概率对于掌握机器学习算法的工作原理至关重要。以下是一些需要掌握的关键概念：

1. 基本概率： 基本概率描述了某个事件发生的可能性大小。在分类问题中，模型的输出通常为每个类别的概率值，表示该类别出现的可能程度。常见的基本概率计算方法包括加法法则、乘法法则等。
2. 条件概率和贝叶斯定理： 条件概率是指一个事件在另一个事件已发生的前提下发生的概率。贝叶斯定理描述了如何根据证据更新事先概率的计算过程。贝叶斯方法在机器学习中被广泛使用，如朴素贝叶斯分类器。

• 随机变量： 随机变量是用于描述随机现象结果的变量。在机器学习中，经常需要对模型参数赋予随机初值。
• 概率分布： 概率分布刻画了随机变量可能取值及其概率。对于分类问题，我们通常使用概率分布函数(PDF)来评估预测与真实标签的契合程度。

• 连续分布和离散分布： 有些情况下，事件的可能结果是连续的，需要使用连续概率分布;有些则是离散的，需要使用离散概率分布。

• 常见概率分布： 高斯分布(正态分布)、均匀分布、伯努利分布等是一些常见的概率分布类型。不同的机器学习算法对数据分布往往有所偏好，如线性回归适用于高斯分布的数据。
• 最大似然估计(MLE)： 许多机器学习模型(如逻辑回归)中的优化目标函数是基于最大似然估计的思想推导出来的。

统计数据

机器学习实际上是一种统计学方法，旨在从数据中估计出某些摘要信息。这种摘要可以是简单的平均值计算，也可以是更复杂的隐含模式发现。举例来说，假设我们有10个同事的薪资数据，然后要你预测第11个人的薪资水平，你很可能会选择计算这10个人的平均工资作为预测值。这种平均数虽然可能与真实值存在偏差，但机器学习的目标正是尽可能缩小这种预测值与实际值之间的差距。因此，机器学习可以被视为统计学的一个分支应用。

在统计学中，常用的数据汇总技术主要包括：

• 均值： 即一组数据的算术平均值。在机器学习中，均值可应用于特征归一化、计算R²值等场景。可参考相关博文了解均值在回归模型归一化和评估指标中的使用。
• 中位数： 指将数据升序或降序排列后的中间值。当需要将数据划分为等间隔或四分位数范围时，中位数很有用。例如数据可视化中的箱线图就利用了中位数。
• 众数： 即一组数据中出现频率最高的值。它反映了数据集中占主导地位的样本信息，对于分类问题，如果发现某类别数据占多数，模型可能会偏向预测该类别。

微积分

微积分是机器学习领域中最基础也是最重要的数学分支之一。它在训练和优化机器学习模型的过程中扮演着关键角色，几乎所有优化算法都离不开微积分理论。例如在广泛使用的梯度下降算法中，我们就需要依赖于目标函数(成本函数)的导数来确定模型参数调整的方向(增大或减小)。接下来我们列举一些机器学习中需要用到的微积分相关概念：

• 函数基础知识：函数是机器学习的核心概念，无论是监督学习还是无监督学习，都需要在输入数据和目标值之间建立映射函数关系。比如在线性回归和多项式回归中，我们试图拟合能最佳描述数据的线性函数或多项式函数。

1 阶： θ1*X  +  θ0 

2 阶： θ2*X^2  +  θ1*X  +  θ0

• 傅立叶级数： 傅立叶级数是周期函数在正弦和余弦函数方面的展开。我们可以在数据分析和绘制安德鲁斯曲线中找到它的直接用途。
• 连续函数与离散函数：在机器学习中我们经常需要对函数求导数。然而只有连续函数才是可微的，离散函数是不可微的。因此了解函数的连续性质对于选择合适的激活函数等至关重要。
• 微分基础：函数的可微性对于机器学习至关重要，因为我们需要根据成本函数的导数来确定调整模型参数的方向。虽然现有工具可以自动计算导数，但深入理解微分原理能帮助设计或调试复杂算法。
• 复合函数与链式法则：在神经网络反向传播时，需要应用链式法则更新网络中的所有参数，原因是输出层的成本函数实际上是网络层之间的复合函数，唯一求导方式就是使用链式法则。
• 偏导数：机器学习模型往往需要学习多个参数，为评估单个参数对整体成本函数的影响，我们需要计算成本函数对该参数的偏导数，即在其他参数保持不变的条件下关于该参数的导数。
• 傅里叶级数：傅里叶级数是将周期函数展开成三角函数(正弦和余弦)无限级数的方法。它在数据分析和绘制安德鲁斯曲线等领域有着广泛应用。

• 矩阵微分：深度学习模型中往往包含数十亿个参数，单独计算每个参数的偏导数将是一个巨大的计算负担。因此我们采用矩阵微分的方法，以层为单位对网络进行批量求导，大大提高了计算效率。

图形

图形是机器学习中不可或缺的重要工具。在训练模型的过程中，我们经常需要绘制曲线图来观察损失函数(成本函数)随着训练迭代的进行是否稳步下降。此外，各种图形表示也被用于对数据进行可视化分析，从而帮助提取有价值的信息。总的来说，图形贯穿了机器学习工作流程的方方面面。接下来我们列举一些机器学习中常见的与图形相关的主题：

• 线性函数和方程： 当我们学习 ML 时，有关线性方程和函数的知识至关重要，因为大多数算法都会讨论斜率/梯度以及 θ1*X + θ0 等方程，其中我们需要知道 θ1 和 θ0 的值。
• 线性函数与方程：线性模型是机器学习中最基础也是最常用的模型形式之一。了解线性函数和方程(如θ1*X + θ0)对于理解诸如线性回归等算法的原理至关重要，因为我们需要求解θ1和θ0等参数的值。

• 非线性函数与离散函数图像：在很多情况下，线性模型无法很好地拟合数据分布，这时我们就需要使用非线性函数(如多项式函数)或分段函数。绘制这些复杂函数的图像有助于评估模型拟合的精度，即预测值与真实值之间的拟合程度。
• 抛物线方程：均方误差(MSE)等常用的成本函数具有抛物线型的曲线形状，这一特性使得求解函数的最小值(全局最优解)变得更加简单。抛物线函数的另一个有利特征是它只存在一个最小值点，从而避免了导致优化陷入局部最优的风险。

MSE = Σ (Y' - Y)^2, # Y' = Y 的预测值，Y 是 Y 的实际值

• 高阶多项式与指数函数：在对复杂数据分布进行建模时，我们常需要使用高阶多项式或指数函数。比如逻辑回归算法中就用到了Sigmoid指数函数。要透彻理解这些模型，对相关函数图像的把握是必需的。
• 激活函数图像：在神经网络等深度学习模型中，激活函数如Tanh、Sigmoid、ReLU等扮演着至关重要的角色。不同的激活函数具有不同的曲线形状，对应着不同的数学特性，如有界性、中心对称性等。透过图像可以直观地判断一个激活函数是否满足特定应用场景的需求。

写在最后

本文总结了几个机器学习初学者必须掌握的数学主题，包括微积分、函数、方程、图形分析等。微积分在机器学习算法的优化过程中扮演核心角色;函数和方程是对数据进行建模的基础;图形知识则是进行数据可视化分析和模型诊断的利器。

掌握这些数学知识有助于初学者进阶成为高级机器学习工程师。高级工程师不仅能熟练运用现有算法，更能深入洞见算法内在机制，并根据实际需求对算法加以改造和创新。这种能力使他们在机器学习的理论研究和工程实践领域都能取得卓越成就。

总的来说，数学是通向机器学习之路的必由之路。初学者应该从一开始就重视对相关数学知识的学习，并努力将这些知识内化为自己的工具和能力，才能在机器学习的广阔天地中成为出类拔萃的人才。希望这篇文章能给读者一些有益的启发。