今天给大家分享一个在工业界、实际工作中非常常用的技术——向量检索。得益于深度学习、表示学习的迅猛发展，向量化检索逐渐成为实际应用中很常见检索方法之一，是深度学习时代很多成熟系统的基础模块，在诸如文档检索系统、广告系统、推荐系统应用广泛。通过离线或在线将实体表示成向量的形式，再进行向量之间的距离度量，实现线上检索。举个例子，在文档检索系统中，一种常见的方法是训练能够将query和document分别进行编码的Encoder，一般采用query和docuemnt的匹配度为label进行训练，并将document的向量表示存储起来。在线阶段，使用query和docuemnt的向量计算内积，得到query和各个候选document的距离，根据距离排序，实现topK检索。在其他系统中的实现方法也是类似的，区别是编码的实体差异，例如在广告系统中可能是根据user或query的向量和广告的向量进行召回。
由于目前工业界的系统数据量都很大，直接进行全量数据的向量检索计算代价非常高。因此，ANN（Approximate Nearest Neighbor，近似近邻检索）成为一种高效替代方案。其中，基于量化的ANN方法是目前工业界最常用的向量检索方案之一。本文给大家整理了基于量化的ANN检索方法的发展历程。
基于量化的近邻检索方法最早提出于 Product quantization for nearest neighbor search（2010）这篇文章。Product Quantization（PQ）的整个过程可以表示为如下形式。假设我们做的是搜索广告召回，每个广告都表示成一个维度为1024的向量。首先将每个向量分成多段（如这里是8段，每段128维）字向量。接下来，在每一段内部通过Kmeans聚类的方式得到K个质心（如256个），这样就得到一个codebook，代表了每段内每个cluster_id和向量的对应关系。最后对于每个样本的每段向量，用距离其最近的聚类中心的id表示。通过这种方式，我们将原来的1024维度浮点数向量，压缩成了8维的整型向量，大幅压缩了向量体积。在还原阶段，也可以使用codebook对压缩的向量进行还原，还原前后向量的欧式距离即为压缩带来的失真度，可以表示为如下公式，其中i表示量化过程（encoder），c表示还原过程（decoder）。
那么，得到量化后的向量，如何进行近邻检索呢？主要包括两种方法，一种是SDC(symmetric distance computation)，另一种是ADC(asymmetric distance computation)。在下图中，x和y分别表示query和某个候选广告对应的原始向量，q()函数表示量化函数。SDC的方法是将x和y都量化成聚类中心，利用聚类中心的距离表示x和y的距离。ADC的方法是不对x进行量化，直接计算x和量化后y的聚类中心的距离。最终整体的距离是各段量化距离之和。
为了进一步优化PQ的运行效率，文中提出了inverted file with asymmetric distance computation (IVFADC)的PQ实现方法。IVFADC将量化分为粗量化和积量化两个步骤，粗量化时借助Kmeans使用较少的质心表示所有数据，积量化采用PQ对粗量化的残差进行分段量化。这种方法进一步提升了检索效率。
Optimized Product Quantization基础的PQ算法并没有考虑如何对原始向量进行分割，能把量化前后的向量失真度降到最低。向量的分割方法在PQ中和数据完全无关，而更好的方案是根据数据分布进行向量划分调整。Optimized Product Quantization（2014）对PQ算法进行了优化，以量化前后的失真度作为优化目标对向量进行分割，以及生成codebook，相比原来的优化增加了将向量分割方式考虑到优化目标内。整体优化过程可以表示为如下公式，其中R表示一个正交矩阵，定义了向量的分割方式，可以理解为利用R将codebook的向量空间进行了旋转，以更好的适应数据分布：
针对上述优化问题，文中提出了参数化和非参数化两种求解方法。非参数方法交替优化R矩阵和codebook，固定R使用基础PQ方法优化codebook，再固定codebook使用SVD方法优化R矩阵。
Locally Optimized Product Quantization（LOPQ，2014）在OPQ的基础上更近一步，对每个子空间都进行旋转。Kmeans、PQ、OPQ、LOPQ这4种方法生成的质心对比如下图所示。
Differentiable Product Quantization for End-to-End Embedding Compression（ICML 2020）提出了可导的量化方法（DPQ），利用可导量化的思路提出了对embedding table进行压缩的方法。首先将原始的embedding table利用一个Key Matrix进行离散化生成codebook，再使用一个Value Matrix进行逆向操作生成重构的embedding表。在实际使用的时候，只保留中间产出的codebook和value matrix。在离散化过程中，将embedding和Key矩阵的向量都分成D份，计算每份的距离并以距离最小的作为其对应的离散化id表示，和量化方法类似。为了让上述过程是可导的，将距离计算取最小的argmin操作改为softmax操作，实现了离散化过程可导的目的。
向量检索是工业界很多在线系统的基础，而量化更是实现高效的向量检索中最常用的方法之一。这篇文章整理了量化的核心思路，以及后续优化工作，可以在实际应用中进行尝试。
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