Python金融分析系列-4：数学工具-近似、凸优化、积分和符号运算

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连享会课程 · 2024 Stata 寒假班

实证分析中，最伤神和耗时的事情莫过于研究设计和数据处理。在以往的授课中，有不少学员在听完了高级班后，又返回头来参加初级班。大家的感触是：若没有扎实的基础，以及对计量和 Stata 整体架构的认识，后续的学习进度总感觉力不从心，进展缓慢。在初级班中，连玉君老师力求将四天的课程设置成一个比较完整的体系，目的有二：

• 其一，希望大家经过四天的学习（尚需另外花费 1-2 个月演练吸收），能掌握基本的统计和计量分析方法，能理解多数期刊论文中使用的分析方法；

• 其二，希望诸位能建立起 Stata 的基本架构，熟知 Stata 能做什么、如何做？以便为后续学习打下宽厚扎实的基础。

翻阅 Top 期刊上的论文，文中的方法我们似乎都会。细细想来，原因在于这些论文的想法或视角通常都比较独特，并使用了恰当的方法来论证。这里的关键在于研究设计，而这在目前的计量教科书中却鲜有涉及。为此，本次研讨班突出两个特点：一方面，将基础知识讲解透彻，进度上不求快；另一方面，在每个专题中都会提供了 2-3 篇比较经典的论文，展示这些方法的合理应用。

作者：陈卓然 (北京大学)
邮箱：chenzhr25@mail2.sysu.edu.cn

The mathematicians are the priests of the modern world. ——Bill Gaede

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目录

• 1. 缘起

• 2. 近似

• 2.1 回归

• 2.2 定制化基准函数

• 3. 凸优化

• 3.1 全局最优化

• 3.2 局部最优化

• 3.3 受限约束

• 4. 符号运算

• 4.1 积分

• 4.2. 微分

• 5. 小结

• 6. 相关推文

1. 缘起

本章中将会介绍一些金融中有用的数学工具，具体而言，我们将介绍如下的几部分：

• 近似
• 凸优化
• 积分
• 符号运算

2. 近似

首先让我们导入一些必要的包：

import numpy as np
from pylab import plt, mpl
plt.style.use('seaborn')
mpl.rcParams['font.family'] = 'serif'
%matplotlib inline

在本推文中，我们将主要以如下的函数为例：

def f(x):
    return np.sin(x)+0.5*x

首先让我们看一下这个函数的大致形象，我们将这个函数绘制在 的区间上：

# plot the function over a fixed interval
def create_plot(x, y, styles, labels, axlabels):
    plt.figure(figsize=(10,6))
    for i in range(len(x)):
        plt.plot(x[i], y[i], styles[i], label=labels[i])
    plt.xlabel(axlabels[0])
    plt.ylabel(axlabels[1])
    plt.legend(loc=0)

x = np.linspace(-2*np.pi, 2*np.pi, 50)
create_plot([x], [f(x)], ['b'],['f(x)'], ['x', 'f(x)'])

2.1 回归

回归时函数多项式逼近的一个非常有效的手段，它不仅适用于一维的函数，同时也适用于多维的函数。其背后的数学原理很简单：给定一系列基准函数 且 ，我们根据如下的方程来寻找最优的 。

其中， , 被称为自变量， 被称为因变量。最简单的一组基准函数便是将单项式作为基准函数，也就是：

在这种情形下，numpy 中存在一个内置函数 np.polyfit() 去决定最优参数，以及给定一组输入值的时候获得近似值的函数 np.polyval()。

    
res = np.polyfit(x, f(x), deg=1, full=True, cov=True)

(array([ 4.28841952e-01, -1.33457859e-16]),
array([21.03238686]),
2,
array([1., 1.]),
1.1102230246251565e-14)

ry = np.polyval(res[0], x)

create_plot([x, x], [f(x), ry], ['b', 'r.'],
            ['f(x)', 'regression'], ['x', 'f(x)'])

我们也可以考虑更高阶的近似拟合，比如说五阶：

res5 = np.polyfit(x, f(x), deg=5)
ry5 = np.polyval(res5, x)
create_plot([x, x], [f(x), ry5], ['b', 'r.'],
            ['f(x)', 'regression'], ['x', 'f(x)'])

2.2 定制化基准函数

我们也可以采用自己定义的基准函数去拟合。首先我们先手动复现一下上一小节的内容，也就是采用多项式回归的方法去拟合我们的函数:

matrix = np.zeros((3+1, len(x)))
matrix[0,:] = 1
matrix[1,:] = x
matrix[2,:] = x ** 2
matrix[3,:] = x ** 3

reg = np.linalg.lstsq(matrix.T, f(x), rcond=None)[0]
ry = np.dot(reg, matrix)
create_plot([x, x], [f(x), ry], ['b', 'r.'],
            ['f(x)', 'regression'], ['x', 'f(x)'])

不难看出上述图形没有完全刻画出三角函数的特征，因此我们可以对基准函数做出如下的改变:

matrix[3,:] = np.sin(x)
reg = np.linalg.lstsq(matrix.T, f(x), rcond=None)[0]
ry = reg@matrix
create_plot([x, x], [f(x), ry], ['b', 'r.'],
            ['f(x)', 'regression'], ['x', 'f(x)'])

另外一点值得注意的是，回归分析方法对于未排序的数也是非常友好的，比如我们可以先生成一组随机数, 记作 :

xu = np.random.rand(50) *4 *np.pi - 2*np.pi
yu = f(xu)
reg = np.polyfit(xu, yu, deg=5)
ry = np.polyval(reg, xu)
create_plot([xu, xu], [yu, ry], ['b.', 'ro'],['f(x)', 'regression'], ['x', 'f(x)'])

3. 凸优化

在金融和经济学中，凸优化无疑扮演着重要的角色，比如说期权定价模型对于市场数据的校准或者一个代理人的效用最大化问题。为便于说明，我们定义如下的函数:

def fm(p):
    x, y = p
    return (np.sin(x) + 0.05*x**2
            + np.sin(y)+0.05*y**2)

首先让我们直观地看一下这个函数:

x = np.linspace(-10,10,50)
y = np.linspace(-10,10,50)
X, Y = np.meshgrid(x, y)
Z = fm((X, Y))
fig = plt.figure(figsize=(15, 6))
ax = fig.add_subplot(projection='3d')
surf = ax.plot_surface(X, Y, Z, rstride=2, cstride=2,
cmap='coolwarm', linewidth=0.5,
antialiased=True)
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('y')
ax.set_zlabel('f(x, y)')
fig.colorbar(surf, shrink=0.5, aspect=5)

3.1 全局最优化

为了计算最优化，我们首先需要导入：

import scipy.optimize as sco

为了便于观察最优化的过程，我们将前文的 fm 函数做如下的一些改变：

def fo(p):
    x, y = p
    z = np.sin(x) + .05 * x**2 + np.sin(y) +0.05*y**2
    if output == True:
        print(


    
f"{x} | {y} | {z}")
    return z

output = True
sco.brute(fo, ((-10, 10.1, 5), (-10, 10.1, 5)), finish=None)

这样返回的结果是 (0, 0)。不过注意到我们在上述优化的代码中，格点步长设置为了 5。如果将步长减小到 0.1，我们得到的结果就变成了 (-1.4, -1.4)。

output = True
sco.brute(fo, ((-10,10.1,0.1),(-10,10.1,0.1)), finish=None)

3.2 局部最优化

对于众多优化问题，一种常见的策略是首先进行全局最小化，然后再进行局部最小化。这样可以避免局部最小化得到的结果可能不是全局的最小化点。

output = True
opt3 = sco.fmin(fo, opt2, maxiter=15)

我们得到的结果是 [-1.42743423, -1.42786531]。但是如果初始值设定如下：

output = False
sco.fmin(fo, (2.0, 2.0), maxiter=250)

这时候我们得到的结果是 [4.2710728, 4.27106945]。

3.3 受限约束

以上我们讨论的优化问题均是无约束的优化问题，但是在金融和经济学中更多的优化问题均是受约束的优化问题。

为了求解这样的问题，我们需要使用到 scipy.optimize.minimize() 的函数。

def EU(p):
    s, b = p
    return -(0.5*np.sqrt(s*15 + b*5)+
             0.5*np.sqrt(s*5 + b*12))
cons = ({'type':'ineq',
         'fun': lambda p: 100 - p[0]*10 - p[1]*10})
bnds = ((0, 1000),(0, 1000))
result = sco.minimize(EU, [5,5], method="SLSQP",
                      bounds=bnds, constraints=cons)

 message: Optimization terminated successfully
 success: True
  status: 0
     fun: -9.700883611487832
       x: [ 8.025e+00  1.975e+00]
     nit: 5
     jac: [-4.851e-01 -4.849e-01]
    nfev: 16
    njev: 5

4. 符号运算

符号运算在做理论文章的过程中是非常有用的，而在符号运算中 sympy 起到至关重要的作用。

sympy 中的一个基本类是 Symbol：

x = sy.Symbol('x')
y = sy.Symbol('y')
f = x**2 +3+0.5*x**2 + 3/2
sy.simplify(f)

上述命令输出 。sympy 的一个最大优势在于求解方程，比如说我们想要求解 ，或者 ，又或者 。

sy.solve(x**2 -1)
sy.solve(x**2-1-3)
sy.solve(x**3 +0.5*x**2 -1)

4.1 积分

sympy 另外一个重要的优势在于其积分和微分的功能:

a,b = sy.symbols('a,b')

sy.Integral(sy.sin(x) + 0.5*x, (x, a,b))
sy.integrate(sy.sin(x) + 0.5*x, x)

我们得到：

我们也可以进行数值计算：

sy.integrate(sy.sin(x) + 0.5*x, (x, 0.5, 9.5))

不难得到 27.3748.

4.2. 微分

为了计算微分，我们可以采用 sy.diff()，仍然以我们前文积分的结果为例。

int_fun = -sy.cos(x)+0.25*x**2
int_fun.diff()

当我们想要求解的一个优化问题的时候，我们往往习惯将其一阶条件令为 0，然后进行求解。例如：

# example of an equation with interactive x and y
f = (sy.sin(x) + 0.5*x*y - sy.cos(y) - 0.6*y**2)

我们首先求解这个函数对 和 的两个一阶条件:

del_x = sy.diff(f,x)
del_y = sy.diff(f,y)

x0,y0 = sy.nsolve((del_x, del_y), (x,y), (-1,1))
f.subs({x:x0, y:y0}).evalf()

由此得到 -1.46911645849389。

5. 小结

本推文介绍了 Python 中的一些重要的数学工具。不难看出，Python 在数学计算方面有很好的基础函数支持，比如说我们在求解最优化问题时可以用到的受约束优化，以及符号运算等方法。

6. 相关推文

Note：产生如下推文列表的 Stata 命令为：
  lianxh python
安装最新版 lianxh 命令：
  ssc install lianxh, replace

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