擅长机器学习的CFA3级好友小豪开号啦！

简介

小豪是一名擅长机器学习，同时也是三级CFA，最近他也开号了，对量化机器学习感兴趣的朋友可以关注他的公众号。

本系列希望为读者建立对“结构化风险模型”的感性认知，而不牵涉太多的细节内容，我们在许多地方看到过Barra模型，但如果想要了解Barra模型，往往这些介绍都默认了读者有一定的金融知识基础。因此本系列将介绍与Barra模型相关的先验金融知识，通过串讲，相信你再阅读与“结构化多因子风险模型”或者“Barra CNE 模型”相关内容时，会得心应手。

这个系列会涵盖以下内容：

• 马科维茨 均值-方差理论 Markowitz Mean-Variance Model
• 有效前沿 Efficient Frontier
• 资本配置线 Capital Allocation Line
• 资本市场线 Capital Market Line
• 方差-协方差矩阵 Variance Co-variance Matrix
• 专题：结合Barra CNE5 模型案例分析
• 概述
• 框架
• 推导
• 运用

每个章节都会配一个小的Takeaway作为记忆点, 只要对这个记忆点理解就行啦,一些常用的英文表达也会贯穿于文中，方便大家记忆。

马科维茨 均值方差理论 Markowitz Mean-Variance Model

背景

1952年哈里马科维茨发表了一篇题为“证券组合选择”的论文，标志着现代证券组合理论的开端。

在单期投资中，投资者分别以预定资金比例(weights)购买并持有的一个证券组合(portfolio）到期末，马科维茨模型试图通过优化(optimization)投资组合, 来获取风险(risk)和收益(return)的最佳点。

Takeaway：比例(weights)，风险(risk)，收益(return)，优化(optimization)，我们常说的MPT（Markowitz Portfolio Theory）其实就是这一套理论。

三大假设

在马科维茨的这套理论中，蕴含了以下三种假设：

• 单一投资期：即这些投资是单期的（如一年期），如果要做多期的，那么这套理论并不适合，我们需要借助蒙特卡洛来实现（以后也会讲到）；
• 流动性高：无交易成本，且投资者可以买到任何想投资的产品；
• 理性人：投资者基于最优均值方差选择，我们知道方差用于衡量资产的波动率（即收益不确定性），即投资者在波动率相同的情况下，选择收益最大的产品。（关于波动率的介绍可以参考作者另外一篇文章）

其实若要深究，MPT理论背后的假设还有很多：例如资产无限可分、允许无限做空等等，这里不做过分展开，但是记住在这里的假设中，我们的投资资产不包括无风险资产（如国债），这里做一点强调。到后面的环节中我们会做说明。

理论基础

有了上述概念，我们就知道了MPT理论在做什么：给我们一堆资产（或者说金融产品）, , ... ，

用最简单的收益均值和方差来刻画每一个资产

那么每个资产该投多少钱，或者说每个资产配置多少权重，构建一个投资组合，我们才能追求风险最小的时候，收益最大呢？这就是马科维茨均值方差理论（Markowitz Mean Variance Model。下面我们用数学符号来表达一下，会更加清晰

考虑一个投资组合，其中每种资产的权重为，期望收益分别 ，组合期望收益为 其中 代表第种资产的随机变量。

因此在假设条件下，组合期望收益为

Takeaway：这个组合的收益均值为，所要承担的风险，即收益方差为，优化的目标就在收益均值和收益方差之间做平衡(trade off), 做不同的目标优化,如：

• 1、给定最小要求收益率，最小化风险

  s.t.

  
  

• 2、给定最高风险承受，最大化收益

  s.t.

  
  

• 3、多目标问题: 给风险和收益的比例参数后，最小化它们的混合

s.t.

如果追求收益，可以把设置的更大，如果追求稳定，可以把设置的更小，让优化目标更侧重于最小化风险项。

Takeaway：至此上述三个优化目标，希望读者已经有了认知，因为后面到结构化风险因子模型、Barra模型我们会围绕这三个目标展开。

举例说明

说了这么多，我们用两个简单的例子来强化对MPT理论的认知

• 有且仅有两个可投资产

  假设资产A，B收益率分别为, , 方差分别为, , 两个资产相关性的为, 两个资产投资权重分别与， 那么很简单的可以得到这个组合的期望收益，期望方差分别为:

  当然要满足。

  带入具体数字，假设资产A，B收益率分别为5%，8%，波动率分别为10%，20%，对于资产A的投资权重为 与，相关系数取值从-1到1，资产A权重从0到1，研究不同的资产相关性下，投资组合的收益与风险情况。

import numpy as np
import pandas as pd
def portfolio1(ra,rb,sa,sb,rho,wa):
    wb = 1 - wa
    rp = wa*ra + wb*rb
    sp = ((wa**2)*(sa**2) + (wb**2)*(sb**2) + 2*wa*wb*sa*sb*rho)**0.5
    return rp,sp

ra = 0.05
rb = 0.08
sa = 0.1
sb = 0.2
rho = np.arange(-10,11,2)/10
wa = np.arange(101)/100

result = pd.DataFrame(columns = ['rho','wa','rp','sp'])
for rhos in rho:
    for was in wa:
        rp,sp = portfolio1(ra,rb,sa,sb,rhos,was)
        x = pd.DataFrame([rhos,was,rp,sp]).T
        x.columns = ['rho','wa','rp','sp']
        result = result.append(x)
result = result.reset_index(drop = True)

plt.figure(figsize=(16,9))
for i in rho:
    datas = result.loc[result.rho ==i]
    plt.scatter(datas.sp,datas.rp,marker = 'o',label = 'rho = '+ str(i))
plt.legend()
plt.xlabel('sigma',fontsize = 20)
plt.ylabel('r',fontsize = 20)
plt.show()

从我们看到每一条曲线的拐点上半部分都是一个有效的可投资点，因为在相同的风险性（标准差）下，理性人会选择期望收益大的组合投资。这就是我们所谓的有效前沿Efficient Frontier。

Takeaway: 从图中观察两个资产完全正相关时，有效前沿退化成直线；当两个资产完全负相关时，有效前沿退化成双直线。随着两资产相关性的降低，同样的期望收益下，最优组合的风险越来越低，这就是我们常说的投资分散化带来的优势。

• 有多个可投资产(待续)

  固定多个可投资产的收益期望，收益协方差矩阵，我们通过调整资产配置的权重，继续绘制收益与风险的二维散点图，我们即将深化”有效前沿 Efficient Frontier“的概念。