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题目描述
这是 LeetCode 上的「1155. 掷骰子的N种方法」,难度为「中等」。
Tag : 「背包问题」、「动态规划」、「分组背包」
这里有 d 个一样的骰子,每个骰子上都有 f 个面,分别标号为 1,2,...,f
。
我们约定:掷骰子的得到总点数为各骰子面朝上的数字的总和。
如果需要掷出的总点数为 target,请你计算出有多少种不同的组合情况(所有的组合情况总共有 种),模 后返回。
示例 1:
输入:d = 1, f = 6, target = 3
输出:1
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示例 2:
输入:d = 2, f = 6, target = 7
输出:6
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示例 3:
输入:d = 2, f = 5, target = 10
输出:1
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示例 4:
输入:d = 1, f = 2, target = 3
输出:0
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示例 5:
输入:d = 30, f = 30, target = 500
输出:222616187
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提示:
-
1 <= d, f <= 30
-
1 <= target <= 1000
分组背包
在 分组背包问题 中我们提到,分组背包不仅仅有「组内物品最多选择一个」的情况,还存在「组内物品必须选择一个」的情况。
对于本题,可以将每个骰子看作一个物品组,且每次 必须 从物品组中选择一个物品(所掷得的数值大小视作具体物品)。
这样就把问题转换为:用 个骰子(物品组)进行掷,掷出总和(取得的总价值)为 的方案数。
虽然,我们还没专门讲过「背包问题求方案数」,但基本分析与「背包问题求最大价值」并无本质区别。
我们可以套用「分组背包求最大价值」的状态定义来微调: 表示考虑前 个物品组,凑成价值为 的方案数。
为了方便,我们令物品组的编号从 开始,因此有显而易见的初始化条件 。
代表在不考虑任何物品组的情况下,只有凑成总价值为 的方案数为 ,凑成其他总价值的方案不存在。
不失一般性考虑 该如何转移,也就是考虑第 个物品组有哪些决策。
根据题意,对于第 个物品组而言,可能决策的方案有:
-
第 个骰子的结果为 ,有
-
第 个骰子的结果为 ,有
...
-
第 个骰子的结果为 ,有
则是上述所有可能方案的方案数总和,即有:
朴素二维
Java 代码:
class Solution {
int mod = (int)1e9+7;
public int numRollsToTarget(int
n, int m, int t) {
int[][] f = new int[n + 1][t + 1];
f[0][0] = 1;
// 枚举物品组(每个骰子)
for (int i = 1; i <= n; i++) {
// 枚举背包容量(所掷得的总点数)
for (int j = 0; j <= t; j++) {
// 枚举决策(当前骰子所掷得的点数)
for (int k = 1; k <= m; k++) {
if (j >= k) {
f[i][j] = (f[i][j] + f[i-1][j-k]) % mod;
}
}
}
}
return f[n][t];
}
}
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- 时间复杂度:
- 空间复杂度:
滚动数组
根据状态转移方程,我们发现 明确只依赖于 ,且 。
因此我们可以使用之前学过的「滚动数组」,用很机械的方式将空间从 优化至 。
需要注意的是,由于我们直接是在 格子的基础上进行方案数累加,因此在计算 记得手动置零。
Java 代码:
class Solution {
int mod = (int)1e9+7;
public int numRollsToTarget(int n, int m, int t) {
int[][] f = new int[2][t + 1];
f[0][0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int a = i & 1, b = (i - 1) & 1;
for (int j = 0; j <= t; j++) {
f[a][j] = 0; // 先手动置零
for (int k = 1; k <= m; k++) {
if (j >= k) {
f[a][j] = (f[a][j] + f[b][j-k]) % mod;
}
}
}
}
return f[n&1][t];
}
}
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- 时间复杂度:
- 空间复杂度:
一维空间优化
更进一步,利用「 明确只依赖于 ,且 」,我们能通过「01 背包」一维空间优化方式:将物品维度取消,调整容量维度遍历顺序为「从大到小」。
Java 代码:
class Solution
{
int mod = (int)1e9+7;
public int numRollsToTarget(int n, int m, int t) {
int[] f = new int[t + 1];
f[0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = t; j >= 0; j--) {
f[j] = 0;
for (int k = 1; k <= m; k++) {
if (j >= k) {
f[j] = (f[j] + f[j-k]) % mod;
}
}
}
}
return f[t];
}
}
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- 时间复杂度:
- 空间复杂度:
总结
不难发现,不管是「组内物品最多选一件」还是「组内物品必须选一件」。
我们都是直接套用分组背包基本思路「枚举物品组-枚举容量-枚举决策」进行求解。
分组背包的空间优化并不会降低时间复杂度,所以对于分组背包问题,我们可以直接写方便调试的朴素多维版本(在空间可接受的情况下),如果遇到卡空间,再通过机械的方式改为「滚动数组」形式。
另外今天我们使用「分组背包问题求方案数」来作为「分组背包问题求最大价值」的练习题。
可以发现,两者其实并无本质区别,都是套用「背包问题求最大价值」的状态定义来微调。
更多的关于「背包问题求方案数」相关内容,在后面也会继续细讲。
最后
这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.1155
篇,系列开始于 2021/01/01,截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目,部分是有锁题,我们将先把所有不带锁的题目刷完。
在这个系列文章里面,除了讲解解题思路以外,还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。
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