量子计算
量子信息和计算的基本单位是量子比特（qubit），其状态可以是0、1或两者的叠加。量子比特的状态用Dirac的ket符号表示，满足单位范数条件：|α₀|² + |α₁|² = 1。测量会使量子比特的状态坍缩为经典比特，概率为|αₓ|²。量子比特可以通过可逆的单位操作（量子门）进行状态转换。Shor算法和Grover算法为量子算法研究带来了理论上的量子加速。实现这些算法需要大量的量子比特和良好的错误纠正，但当前的量子设备（NISQ设备）尚未达到此要求。量子机器学习（QML）是一个新兴领域，旨在充分利用NISQ设备。
量子机器学习
QML常用的两步方法：变分量子电路（VQC）和经典优化器。VQC由参数化量子门和固定纠缠门组成。经典数据通过数据嵌入过程编码为量子态。VQC应用参数化单位操作，输出通过测量量子比特获得。VQC参数通过经典优化工具优化，以最小化预定义损失函数。VQC常与经典神经网络结合，形成混合QML模型。一些软件包提供高效计算混合QML模型梯度的工具。
多变量时间序列数据包含M个变量，使用大小为L的回溯窗口和大小为T的预测窗口进行预测。预测超过48个时间步被视为长期时间序列预测（LTSF）。在通道独立条件下，单变量时间序列数据分别输入模型，预测未来T个时间步。使用均方误差（MSE）损失函数来衡量真实值与预测值之间的差异。
LTSF（长期时间序列预测）研究领域广泛，近年来基于transformer的模型增多。Wen et al.（2023）对transformer基础的LTSF模型进行了全面综述。Zeng et al.（2023）发现简单线性模型在性能上优于一些先进的transformer模型。Zeng et al.提出了三种模型：Linear（单层线性神经网络）、NLinear（输入最后值减去后再加回输出）和DLinear（将时间序列分解为趋势和季节性成分）。DLinear使用两个线性模型分别训练趋势和季节性，最终输出相加得到预测结果。我们将简单的Linear模型改编为QML模型。QuLTSF是一个混合量子机器学习模型，包含输入经典层、隐藏量子层和输出经典层。输入经典层将L个特征映射为2N长度的向量，输出为y₁。
隐藏量子层使用幅度嵌入将y₁编码为量子态|φ_in⟩，并采用硬件高效的变分量子电路（VQC）。VQC由K层组成，每层包含可训练的单量子比特门和固定的CNOT门，输出为|ψ_out⟩。
通过计算每个量子比特的Pauli-Z可观察量，得到隐藏量子层的输出y₂。输出经典层将y₂映射为预测的T长度向量，输出为X_LL^{m+L+T}。所有层的参数可以通过PennyLane等软件包联合训练。
QuLTSF模型在Weather数据集上评估性能。数据集由Max-Planck生物地球化学研究所记录，包含21个气象和环境特征。数据记录于2020年，时间粒度为10分钟，共52,696个时间戳。数据划分：70%用于训练，20%用于测试，10%用于验证。
基线
选择三种线性模型（Linear, NLinear, DLinear）作为主要基线。还考虑了几种基于变换器的LTSF模型（FEDformer, Autoformer, Informer）作为其他基线。变换器模型已被证明优于传统统计模型（如ARIMA）和其他深度学习模型（如LSTM, DeepAR），因此不包括这些模型。
评估指标
在当前研究中，使用均方误差（MSE）和平均绝对误差（MAE）作为评估指标。
超参数
量子比特数 N = 10，隐藏量子层的 VQC 层数 K = 3。使用 Adam 优化器（Kingma 和 Ba, 2017）训练模型，目标是最小化训练集上的均方误差（MSE）。
结果
选择固定序列长度L=336，预测长度T为{96,192,336,720}，比较QuLTSF与6个基线模型的MSE和MAE，QuLTSF在所有情况下均优于基线模型。为验证QuLTSF与基线线性模型的表现，进行不同序列长度L的实验，固定预测长度T=96和T=720，结果显示QuLTSF始终优于基线线性模型。
讨论
QuLTSF使用通用的硬件高效变换，选择合适的变换是QML中的研究方向（Du et al., 2022）。针对不同数据集寻找更好的QML LTSF模型变换仍是一个开放问题，参数化的两量子比特旋转门是潜在方法（You et al., 2021）。高效的数据预处理（如反向实例归一化）可减轻训练与测试数据之间的分布偏移，已在PatchTST（Nie et al., 2023）和MTST（Zhang et al., 2024）中应用。PatchTST和MTST在性能上优于线性模型（Zeng et al., 2023），但QuLTSF在有限设置下表现相当或更优。在设置(L = 336, T = 720)下，PatchTST、MTST和QuLTSF的MSE分别为0.320、0.319和0.315；在(L = 336, T = 336)下，MSE分别为0.249、0.246和0.248。效率高的数据预处理可能提升QML模型的结果。
本文提出了QuLTSF，一种简单的混合量子机器学习模型用于长期时间序列预测（LTSF）。QuLTSF结合了变分量子电路（VQC）和经典线性神经网络，形成高效的LTSF模型。简单线性模型优于复杂的基于变换器的LTSF模型，且引入隐藏量子层进一步提升了性能。研究为未来LTSF研究中的混合量子机器学习模型应用开辟了新方向。
