基于图论的时间序列数据平稳性与连通性分析：利用图形、数学和 Python 揭示时间序列数据中的隐藏模式

来源：DeepHub IMBA
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本文将探讨图论在时间关系和平稳性分析中的应用，介绍图变换的基本概念，讨论时间序列的平稳性，并展示这些概念的实际应用。

时间序列数据表示了一个随时间记录的值的序列。理解这些序列内部的关系，尤其是在多元或复杂的时间序列数据中，不仅仅局限于随时间绘制数据点(这并不是说这种做法不好)。通过将时间序列数据转换为图，我们可以揭示数据片段内部隐藏的连接、模式和关系，帮助我们发现平稳性和时间连通性等性质，这就是图论发挥作用的地方。

在本文中，我们将探讨图论如何洞察时间关系和平稳性，将介绍基于图的变换的基本概念，讨论时间序列数据的平稳性，并展示如何应用这些概念。

什么是时间序列数据的平稳性?

平稳性是时间序列分析中的一个核心概念。如果一个时间序列的统计特性——均值、方差和自相关性——随时间保持不变，则称该时间序列是平稳的。简而言之，平稳时间序列不随时间变化而出现趋势、周期性或变化的方差。

从数学角度来看,如果满足以下条件,则时间序列X(t)是平稳的:

平稳性有助于确保在序列样本中观察到的模式能代表整个数据集。这在预测中至关重要，因为非平稳数据通常会导致不准确或有偏差的模型。

利用图论理解平稳性和连通性

图论作为一个研究网络的数学框架，为表示和分析时间序列数据中的关系提供了强大的工具。图由节点(顶点)组成，节点之间由边连接，边可以表示时间序列数据中状态之间的关系、依赖或转换。

在时间序列分析中，我们可以使用图来模拟时间序列片段内部和之间的依赖关系，揭示周期性和平稳性等关系。

将时间序列转换为图

为了在时间序列分析中应用图论，我们需要将数据转换为图结构。以下是实现这一转换的步骤:

• 将时间序列划分为片段：将时间序列划分为相等的部分或我们要分析的区间。
• 计算成对相似性：对于每一对片段，计算一个相似性度量，例如互相关或互信息，以定义节点(片段)之间的边。

• 构建图：将每个片段视为一个节点,并用它们的相似性加权的边连接节点。

让我们通过一个实例进一步分解这些步骤。

1. 分割时间序列

给定一个时间序列X={x1,x2,…,xN}，将其划分为 M 个片段，每个片段包含 L 个时间步长(其中 L = N/M)。这会产生片段 X1,X2,…,XM。

2. 计算成对相似性

对于每一对片段，计算一个相似性度量 s(i,j)。常见的选择包括：

• 皮尔逊相关系数：度量片段之间的线性相关性。

• 动态时间规整(DTW) ：通过对齐可能具有非线性时移的片段来捕捉相似性。

• 互信息：量化片段之间共享的信息。

较高的相似性值 s(i,j)表示片段之间的连接更强，暗示时间连通性或平稳模式。

3. 构建图

创建一个图 G=(V,E)，其中：

• V 表示作为节点的片段。

• E 包括节点之间的边,如果它们的相似性超过阈值 α,则边的权重为 w(i,j)=s(i,j)。

简单示例

以下是使用皮尔逊相关系数创建相似图的简单示例：

 import numpy as np import networkx as nx import matplotlib.pyplot as plt from scipy.stats import pearsonr  # 模拟时间序列数据 time_series = np.sin(np.linspace(0, 10 * np.pi, 1000)) + np.random.normal(0, 0.1, 1000)  M = 20 L = len(time_series) // M segments = [time_series[i * L:(i + 1) * L] for i in range(M)]  # 计算片段之间的相似性(皮尔逊相关系数)   G = nx.Graph() for i in range(M):     G.add_node(i)     for j in range(i + 1, M):         corr, _ = pearsonr(segments[i], segments[j])         if abs(corr) > 0.5:  # 显著相似性的阈值             G.add_edge(i, j, weight=corr)

我们将时间序列划分为20个片段。计算每对片段之间的皮尔逊相关系数，并将相关系数高于阈值的片段连接起来。

利用图连通性分析平稳性

相似图中的连通性可以揭示平稳性的洞见。如果片段高度连通(节点之间有许多边)，这表明该序列在时间上具有平稳特性。如果只有很少或孤立的簇，则意味着该序列可能是非平稳的，在不同的片段中具有不同的时间模式。

基于图的平稳性度量

几个图度量可以量化这些属性：

聚类系数：衡量节点形成紧密群组的倾向,这可能表明局部平稳性。

平均路径长度：反映了时间序列片段的整体连通性和相似性。

模块度：确定社区的存在,高模块度表明时间变化。

 clustering_coef = nx.average_clustering(G) avg_path_length = nx.average_shortest_path_length(G)  print("Clustering Coefficient:", clustering_coef) print("Average Path Length:", avg_path_length)

通过图分区可视化平稳性

为了可视化时间结构，我们可以使用图分区来识别高度连通的节点簇，对应于相似或平稳的片段。例如，谱聚类可以突出显示平稳和非平稳簇。

为了演示我们创建了一个只有正边的新图，因为我们在示例中使用的社区检测算法需要正权重，而相关性也可以是负的。在这个例子中使用 R² 而不是相关性作为边权重重新创建了相同的图。

 from networkx.algorithms import community import community as community_louvain  # 应用 Louvain 社区检测 partition = community_louvain.best_partition(G)

从社区图推断平稳性

一旦我们将时间序列转换为图，主要关注的就是片段在时间上的连通性。连通模式可以给我们关于时间序列平稳性的线索。具体如下:

高连通性(密集社区) ：如果图显示节点(片段)之间的高连通性，很少或没有孤立的簇，这表明时间序列是平稳的。密集的社区或"充分混合"的结构意味着时间序列的统计特性(如均值和方差)随时间保持一致，这意味着整个过程中片段之间的相似性很高。

低连通性(稀疏社区)：如果图有几个稀疏或弱连通的簇,具有孤立的组或"分散"结构，这表明非平稳性。在非平稳时间序列中,某些片段可能具有不同的统计特性,例如变化的趋势、季节性变化或不同的方差。这些变化会破坏均匀连通性,导致只有某些片段彼此相似的簇。

模块度和社区结构：图中高模块度(即片段形成不同的、分离良好的社区)表明数据中存在更强的非平稳趋势。例如,如果时间序列包含周期性循环或在不同制度之间转换(如金融数据中的不同市场状态)，这些制度将形成可识别的簇。低模块度，其中节点是大型互连组件的一部分，通常反映了平稳性，因为片段随时间共享相似的统计特性。

聚类系数和最短路径：高聚类系数(簇内有许多连接)和短平均路径长度(片段之间的"距离"低)通常伴随平稳时间序列。如果这些指标较低，某些节点之间的路径较长，则表明存在不同的时间制度或模式，表明非平稳性。

模拟不同平稳性和非平稳性程度的信号

为了更好地捕捉非平稳性，我们分析从三个离散状态扩展到连续的非平稳性尺度。这里将生成几个具有递增非平稳性水平的模拟信号，逐渐改变频率和幅度等统计特性。然后将计算并可视化每个信号的图度量，以观察它们如何在这个连续谱上变化。

按如下方式创建信号：

平稳(0级) ：具有恒定均值和方差的纯白噪声。

低非平稳性(1-3级) ：引入一个微妙的线性趋势来模拟轻微的漂移。

中等非平稳性(4-6级) ：在趋势之上添加季节性成分,如周期性模式。

高非平稳性(7-9级)：引入随机游走成分,导致更多的可变性。

非常高的非平稳性(10级) ：结合强趋势、高季节性和随机冲击,创建具有不同时间制度的信号。

每个级别通过逐步增加可变性和改变统计特性来增加非平稳性。

 N = 1000 time = np.arange(N)  signals = [] np.random.seed(42)  for level in range(11):     if level == 0:         signal = np.random.normal(0, 1, N)     elif level <= 3:         trend = 0.01 * level * time         signal = np.random.normal(0, 1, N) + trend     elif level <= 6:         trend = 0.01 * (level - 3) * time         seasonality = 2 * np.sin(0.05 * time)         signal = np.random.normal(0, 1, N) + trend + seasonality     elif level <= 9:         trend


    
 = 0.02 * (level - 6) * time         seasonality = 2 * np.sin(0.05 * time)         random_walk = np.cumsum(np.random.normal(0, 0.2, N))         signal = trend + seasonality + random_walk     else:         trend = 0.05 * time         seasonality = 3 * np.sin(0.1 * time)         random_shocks = np.random.normal(0, 3, N)         signal = trend + seasonality + random_shocks     signals.append(signal)

连通性(边数)：‍

边数开始时较低，然后在非平稳性水平 5-8 左右迅速增加，表明存在一个过渡阶段，片段开始变得更加连通。

在最高的非平稳性水平(10级)，连通性下降，这可能反映了由于强随机冲击和剧烈变化，片段在其特性上过于分散。

聚类系数：‍

在初始的非平稳性水平，聚类系数保持较低，这对于平稳或近乎平稳的信号是预期的，因为片段非常相似，只形成很少的强连接。

在 6-9 级左右显著增加，表明随着非平稳性的增加，片段开始聚集成小的、紧密连通的组。这可能反映了季节性或趋势性成分的影响，相似的片段形成簇。

在最高的非平稳性水平(10级)，聚类系数急剧下降，这可能是由于片段变得不那么均匀连通，导致孤立的簇。

平均路径长度：‍

在较低的非平稳性水平，路径长度一致且相对较低，意味着一个连通良好的图，具有相似的片段。

在 8-9 级有明显的增加，表明随着非平稳性的增长，片段在连通性方面越来越远。

由于一些图是不连通的，路径长度测量似乎很稀疏，这可能表明片段已经失去了足够的相似性而无法保持连通。

模块度：‍

在 10 级，模块度显著增加，表明图更加分散，片段形成不同的社区。这是高度非平稳信号的特征，可能有几个不同的时间制度。

在中间的非平稳性水平，模块度相对较低，这表明片段足够相似，可以避免形成不同的社区，但由于小趋势或季节性，它们仍然表现出一些小的结构。

关键结果

从这个分析中,我们可以得出以下结论：‍

• 中等非平稳性下连通性和聚类的增加：5-8 级左右显示连通性和聚类的增加，反映了中等季节性或趋势成分的存在，其中片段变得更加相互关联。
• 非常高的非平稳性下的高模块度：10级显示了高模块度,这与显著的非平稳性一致。这是预期的，因为片段已经大大偏离，形成了不同的社区，使图变得支离破碎。

• 极端水平下聚类和连通性的下降：在非平稳性的极端，随着随机性占主导地位，连通性和聚类下降，导致稀疏连通或孤立的节点。

总结

本文探讨了利用图论分析时间序列数据平稳性与连通性的方法。通过将时间序列转换为图结构，计算片段间相似性，构建连通图，可以揭示数据的隐藏模式。文章介绍了平稳性的概念，提出了基于图的平稳性度量，展示了图分区在可视化平稳性中的应用。此外，本文还模拟了不同平稳性和非平稳性程度的信号，分析了图度量随非平稳性的变化。最后，总结了关键观察结果和启示，为时间序列数据分析提供了新的视角。